Rätsel der Woche: Addierte Teiler

Addiert man die k Teiler der Zahl n, erhält man die Summe T:

x₁ + x₂ + ... + x_k = T

Wenn n und T bekannt sind, die groß ist denn die Summe der Kehrwerte (auch Reziproke genannt) der Teiler?

1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/x_k = ?

Die Summe der Kehrwerte der Teiler beträgt T/n.

Wir analysieren das Problem zunächst an einem konkreten Beispiel. Die Zahl n = 10 hat genau vier Teiler:

1, 2, 5, 10

Die Summe der vier Teiler beträgt:

1+ 2+ 5 + 10 = 18

Für die Summe S der Kehrwerte ergibt sich:

1/1 + 1/2 + 1/5 + 1/10 = S

Wir bringen die Brüche auf den gemeinsamen Nenner n = 10:

10/10 + 5/10 + 2/10 + 1/10 = S

Wenn wir uns die Zähler anschauen, dann sehen wir, dass dort genau die vier Teiler der Zahl 10 auftauchen. Die Summe S entspricht also der Summe der Teiler (=18) geteilt durch die Zahl n = 10.

Jeder Teiler x_i aus der Menge x₁, x₂, ... x_k hat genau einen Partner in dieser Menge mit der Eigenschaft

x_i · x_j = n.

Ist n eine Quadratzahl und x_i ihre Wurzel, ist x_i sein eigener Partner. Für alle x_i gilt:

x_i = n/x_j

1/x_i = x_j/n

Nun bilden wir links und rechts die Summe über alle i:

S = Summe( 1/x_i ) = Summe( x_j/n )

S = 1/n · Summe( x_j )

Die Summe über alle x_j ist natürlich identisch mit der Summe über alle x_i – und damit sind wir fertig:

S = 1/n · T = T/n

Entdeckt habe ich diese Knobelei im Youtube-Kanal »Prime Newtons« .

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen: