Hat diese Gleichung eine Lösung? - Rätsel der Woche

Finden Sie alle Lösungen der Gleichung:

(x⁷ + x⁵ + x³) / (x⁶ + x⁵ + x⁴) = 3

x ist dabei eine reelle Zahl.

Es gibt genau zwei Lösungen:

x = 2 ± Wurzel(3)

Mit einem Trick entledigen wir uns der hohen Potenzen von x. Wir dividieren Zähler und Nenner durch x⁵ – unter der Voraussetzung x ≠ 0.

(1/x² + 1 + x²) / (1/x + 1 + x) = 3

Als nächstes ersetzen wir 1/x + x mit a. Also gilt:

a = x + 1/x
a² = x² + 1/x² + 2

Aus der zweiten Gleichung folgt:

1/x² + 1 + x² = a² – 1

Wir erhalten somit die Gleichung:

(a² – 1) / (a + 1) = 3

a – 1 = 3
a = 4

Nun setzen wir für a wieder x + 1/x ein:

x + 1/x = 4
x² - 4x + 1 = 0

Diese Gleichung hat die zwei Lösungen x = 2 ± Wurzel(3).

Weil x = 0 und auch a + 1 = 0 zu keinen weiteren Lösungen führt, sind dies die beiden einzigen Lösungen, die existieren.

Entdeckt habe ich diese Knobelei beim Facebook-Account »Mathematics Hub«.

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen: