Rätsel der Woche: Wie groß sind die schwarzen Lücken?

vor 2 Tage 1

Eigentlich mag ich Taschenrechner nicht besonders. Bei der folgenden Knobelei wird es allerdings kaum ohne gehen. Gegeben ist ein schwarzes Quadrat. Darauf liegen ein Halbkreis und zwei Viertelkreise. Die beiden Viertelkreise berühren den Halbkreis – siehe Zeichnung oben.

Das Kreuz mit dem Quadrat

Holger Dambeck

Ein SPIEGEL-Buch: 100 schlaue Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 5)

Verlag: KiWi-Taschenbuch

Seitenzahl: 256

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Das Quadrat hat eine Seitenlänge von 2.

Wie groß sind die schwarzen Flächen, die von den beiden Viertelkreisen und dem Halbkreis nicht abgedeckt werden? Gesucht ist die Summe dieser Flächen.

Die schwarzen Lücken haben eine Fläche von rund 0,262683. Dies entspricht rund 6,567 Prozent der Fläche des Quadrats.

Um die Lücken zu berechnen, müssen wir von der Quadratfläche (= 4) die Flächen des Halbkreises und der beiden Viertelkreise abziehen. Dabei ist allerdings zu beachten, dass sich die Viertelkreise überlappen und diese Überlappungsfläche noch von der Summe der Flächen der Viertelkreise abgezogen werden muss, damit sie nicht doppelt in der Rechnung auftaucht.

r_H ist der Radius des Halbkreises, r_V der Radius der Viertelkreise. r_H ist 1, die Fläche des Halbkreises beträgt Pi/2 * r_H²und somit Pi/2. r_V können wir mit dem Satz des Pythagoras berechnen – siehe folgende Skizze. Das rechtwinklige Dreieck rechts hat Katheten mit den Längen 2 und 1 und eine Hypotenuse mit der Länge r_H + r_V. Daraus folgt: r_V = Wurzel(5) – 1. Die Fläche der beiden Viertelkreise zusammen ist daher
Pi/2 * (Wurzel(5) – 1)².

Die Überlappungsfläche der beiden Viertelkreise entspricht dem Kreissegment , dessen Kreissehne in der folgenden Skizze mit einer gestrichelten Linie eingezeichnet ist.

Foto:

DER SPIEGEL

Für die Fläche des Kreissegments gilt die Formel:

r_V² * (x – sin(x)

x ist dabei der Winkel des Kreissektors angegeben nicht in Grad, sondern als Radiant, auch Bogenmaß genannt. Mit der Funktion Arkuskosinus können wir x berechnen. Es gilt:

x/2 = arccos(r_H/r_V)
x/2 = arccos(1 / (Wurzel(5) – 1))
x/2 = 0,62831854...
x = 1,25663708...

Wenn wir x in die Formel oben einsetzen, erhalten wir die Fläche des Kreissegments und schließlich die Summe der schwarzen Lücken. Sie beträgt rund 0,262683.