Rätsel der Woche: Wie groß ist die Summe?

vor 6 Stunden 1

Zunächst vielen Dank an die Leserinnen und Leser, die mir ihre eleganten Lösungswege für das Geometrierätsel der Vorwoche geschickt haben. Oft wurde dabei der Höhensatz genutzt, mein Lösungsvorschlag beruhte allein auf dem Satz des Pythagoras.

Die neue Aufgabe ist womöglich eine größere Herausforderung: Sie sollen die Summe aus 99 Brüchen berechnen, wobei bei jedem Bruch im Zähler eine 1 steht und im Nenner die Summe aus den Wurzeln zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen – beginnend bei 1 und 2 bis zu 99 und 100. Siehe Abbildung oben!

Holger Dambeck

Das Kreuz mit dem Quadrat

Ein SPIEGEL-Buch: 100 schlaue Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 5)

Verlag: KiWi-Taschenbuch

Seitenzahl: 256

Für 14,00 € kaufen

Preisabfragezeitpunkt

27.07.2025 07.55 Uhr

Keine Gewähr

Produktbesprechungen erfolgen rein redaktionell und unabhängig. Über die sogenannten Affiliate-Links oben erhalten wir beim Kauf in der Regel eine Provision vom Händler. Mehr Informationen dazu hier

Ihre Aufgabe ist es, die Summe der 99 Brüche zu berechnen. Und zwar ohne Taschenrechner und auch ohne Hilfe von Computerprogrammen wie Excel.

Wie lautet das Ergebnis?

Die Summe beträgt 9.

Zur Lösung nutzen wir zwei Tricks:

die binomische Formel (a + b)(a – b) = a² – b²
das Prinzip der Teleskopsumme

Zunächst vereinfachen wir jeden der 99 Brüche mit der binomischen Formel für a² – b². Wir schauen uns den allgemeinen Fall mit den aufeinanderfolgenden Zahlen n und n + 1 an. Im Nenner steht die Summe Wurzel(n) + Wurzel(n + 1).

Wir erweitern nun Zähler und Nenner um den Ausdruck (Wurzel(n + 1) – Wurzel(n)). Der Nenner wird wegen (a + b)(a – b) = a² – b² zu n + 1 – n, also zu 1 – siehe folgende Abbildung.

Foto:

DER SPIEGEL

Im Zähler steht Wurzel(n + 1) – Wurzel(n), den Nenner 1 können wir weglassen.

Nun kommt die sogenannte Teleskopsumme ins Spiel. Dabei handelt es sich um eine endliche Summe von Differenzen, bei der sich benachbarte Glieder gegenseitig aufheben bis auf zwei Ausnahmen: eine Zahl aus der ersten Differenz ganz vorn und eine Zahl aus der letzten Differenz ganz hinten. Das klingt komplizierter als es ist, wie wir gleich sehen werden.

Wir haben die 99 Brüche der Ausgangssumme mit der binomischen Formel in 99 Differenzen von Wurzeln umgeformt. Die gesuchte Summe lautet daher:

Wurzel(2) – Wurzel(1) +
Wurzel(3) – Wurzel(2) +
Wurzel(4) – Wurzel(3) +
... +
Wurzel(99) – Wurzel(98)
Wurzel(100) – Wurzel(99)

Wir sehen sofort, dass sich aufeinanderfolgende Wurzelausdrücke gegenseitig aufheben. Oben sind Wurzel(2) und Wurzel(99) exemplarisch hervorgehoben.

Übrig bleiben schließlich Wurzel(100) aus der Zeile ganz unten und – Wurzel(1) von ganz oben. Das Ergebnis lautet daher Wurzel(100) – Wurzel(1), was exakt 9 entspricht.

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen: