Rätsel der Woche: Aus wie vielen Würfel wurde das Denkmal gebaut?

Ein massives quaderförmiges Denkmal mit quadratischer Grundfläche wurde aus einer Vielzahl gleich großer, würfelförmiger Blöcke errichtet. Nach vielen Jahren müssen die 673 Blöcke, die von außen sichtbar sind – das sind nicht alle Blöcke des Denkmals – ausgetauscht werden.

Aus wie vielen Blöcken besteht das Denkmal, wenn bekannt ist, dass diese Anzahl nicht durch 7 teilbar ist?

Hinweise: Massiv bedeutet, dass das Denkmal keine Löcher und keine Hohlräume hat. Von außen sichtbar sind alle vier Seitenflächen und die Deckfläche, nicht aber die Grundfläche. Die Abbildung oben zeigt den prinzipiellen Aufbau und nicht das beschriebene Denkmal.

Das Denkmal wurde aus 15 mal 15 mal 9 = 2025 Würfeln gebaut.

Zunächst einige Festlegungen: Die Grundfläche besteht aus a mal a Würfeln, die Höhe des Quaders beträgt h Würfel. Das Denkmal ist daher aus A= a²*h Würfeln zusammengesetzt. a muss größer sein als 2, weil sonst alle Würfel von außen sichtbar wären.

Schauen wir auf die nicht sichtbaren Blöcke. Diese bilden einen Quader mit der Höhe h − 1 und mit der quadratischen Grundfläche der Seitenlänge a − 2. Es gibt deshalb (a − 2)²*(h − 1) nicht sichtbare Würfel. Damit können wir die Zahl Z der sichtbaren Würfel berechnen:

Z = a²*h − (a − 2)²*(h − 1)
Z = a²*h − (a − 2)²*h + (a − 2)²
Z = a²*h − a²*h + 4*a*h – 4*h + (a − 2)²
Z = 4*(a − 1)*h + (a − 2)²

Für die Höhe h des Denkmals gilt dann

h = (Z − (a − 2)²)/ 4*(a − 1)

Da Z = 673 gegeben ist, suchen wir zunächst alle positiven ganzzahligen Werte a, für die h ebenfalls positiv und ganzzahlig ist. Weil Z − (a − 2)² dafür zwingend größer als Null sein muss, gilt wegen

Z = 673 < 676 = 26²

2 < a < 28

Damit der Zähler in der Gleichung

h = (Z − (a − 2)²)/ 4*(a − 1)

ein Vielfaches von 4 ist, muss a ungerade sein (Z ist ungerade!), also die Form

a = 2t + 1

mit einer ganzen Zahl t > 0 haben. Aus 2 < a < 28 ergibt sich 1 ≤ t ≤ 13.

Wenn wir 2t + 1 für a in die Gleichung oben einsetzen, erhalten wir

2h = (168 − t² + t)/t
2h = 168/t – (t – 1)

Damit h ganzzahlig wird, muss t also ein Teiler von 168 sein. Im Bereich 1 ≤ t ≤ 13 sind dies genau die Zahlen

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12

und wir erhalten die folgenden Lösungskandidaten: