Rätsel der Woche: Einzigartige Brüche gesucht

Es geht um eine gebrochene Zahl a/b und ihren Kehrbruch b/a, auch Reziprok genannt. Diese beiden Brüche haben in der Dezimaldarstellung höchstens drei Nachkommastellen.

Wie viele solche Brüche gibt es?

Die schwierigere Frage: Die gebrochene Zahl und ihr Kehrbruch haben in der Dezimaldarstellung höchstens n Stellen nach dem Komma. Wie viele solche Zahlen existieren?

Es gibt 49 verschiedene Brüche, welche die Bedingung der Aufgabe erfüllen.

Die gebrochene Zahl z (= a/b) hat genau dann die geforderten Eigenschaften, dass z und 1/z maximal drei Nachkommastellen haben, wenn gilt:

g = 10³*z ist ganzzahlig und

10³*(1/z) ist ebenfalls ganzzahlig.

Wir formen den unteren Bruch um und setzen g = 10³*z darin ein:

10³*(1/z) = 10⁶/(10³*z) = 10⁶/g

Fassen wir zusammen: Sowohl g als auch 10⁶/g müssen ganzzahlig sein. Wir suchen also alle ganzzahligen g, die Teiler von 10⁶ sind. Haben wir diese gefunden, können wir über die (noch nach z umzustellende) Formel g = 10³*z den zugehörigen Bruch z ausrechnen.

Die Anzahl der positiven Teiler g von 10⁶ = 2⁶*5⁶ entspricht deshalb der gesuchten Anzahl der Brüche mit höchstens drei Nachkommastellen.

Wir können g darstellen mit der Formel

g = 2^k*5^m,

wobei gilt 0 ≤ k ≤ 6 und 0 ≤ m ≤ 6 und z = g/10³. Für die Exponenten von 2 (k) und 5 (m) in der Primfaktorzerlegung von g gibt es dabei unabhängig voneinander jeweils die sieben Möglichkeiten von 0 bis 6. Weitere Primfaktoren wie 3 oder 7 dürfen in g nicht vorkommen, weil sie in 10⁶ = 2⁶*5 nicht enthalten sind. Also gibt es genau 7*7 = 49 verschiedene Möglichkeiten für g – und damit auch für z.

Über g = 10³*z kommen wir zur Formel für z:

z = 2^k*5^m/10³

Wir können damit alle 49 Lösungen berechnen, indem wir jeweils für k und m die Werte von 0 bis 6 einsetzen. Zwei konkrete Lösungsbeispiele:

k = 0 und m = 2

Dann gilt z = 25/1000 = 1/40 = 0,025 und 1/z = 1000/25 = 40. Beide Zahlen haben maximal drei Nachkommastellen.

k = 2 und m = 4

Wir erhalten z = 2500/1000 = 5/2 = 2,5 und 1/z = 1000/2500 = 2/5 = 0,4. Beide Brüche haben maximal drei Nachkommastellen.

Die allgemeine Lösung nutzt dasselbe Prinzip. Die gebrochene Zahl z (= a/b) hat genau dann die geforderten Eigenschaften, dass z und 1/z maximal n Nachkommastellen haben, wenn gilt:

g = 10ⁿ*z ist ganzzahlig und

10ⁿ*(1/z) ist ebenfalls ganzzahlig.

Wir formen den unteren Bruch um und setzen g = 10ⁿ*z darin ein:

10ⁿ*(1/z) = 10²ⁿ/(10ⁿ*z) = 10²ⁿ/g

Sowohl g als auch 10²ⁿ/g müssen ganzzahlig sein.

Die Anzahl der positiven Teiler g von 10²ⁿ = 2²ⁿ*5²ⁿ ist damit gleich der Anzahl der gesuchten Brüche mit höchstens n Nachkommastellen. Für die Exponenten von 2 und 5 in der Primfaktorzerlegung von g gibt es dabei unabhängig voneinander jeweils 2n + 1 Möglichkeiten von 0 bis 2n. Weitere Primfaktoren kommen in g nicht vor. Also gibt es als Lösung (2n + 1)² verschiedene Dezimalbrüche der Länge n.

Vielen Dank für diese nicht ganz einfache Aufgabe an Patrick Bauermann um das Team um Michael Dreher vom Aufgabenausschuss der Mathematik-Olympiade!