Rätsel der Woche: Eine Katze und vier Türen

Sie kennen womöglich das Ziegenproblem. Sie sind in einer Quizshow und haben die Wahl zwischen drei Türen. Hinter einer verbirgt sich ein Hauptgewinn, hinter den anderen beiden steht je eine Ziege. Sie wählen eine Tür, öffnen sie aber noch nicht.

Der Showmaster öffnet stattdessen eine andere Tür mit einer Ziege dahinter und fragt Sie, ob Sie die von Ihnen gewählte Tür noch einmal wechseln möchten. Eine knifflige Frage, bei der viele die falsche Antwort geben (mehr dazu hier ).

Das folgende Problem hat auch mit Türen zu tun – aber nur mit einem Tier. Sie stehen vor vier Türen, und hinter einer befindet sich eine Katze. Sie möchten die Katze finden, dürfen aber jeden Tag immer nur eine Tür kurz öffnen und müssen diese, falls die Katze nicht dahinter war, danach wieder schließen.

Die Katze erschwert Ihnen die Suche. Denn immer, nachdem Sie eine Tür geöffnet und wieder geschlossen haben, weil Sie das Tier nicht entdeckt haben, springt sie zu einer benachbarten Tür weiter – also eine Tür nach links oder nach rechts.

Wie viele Tage brauchen Sie, um die Katze mit Sicherheit zu finden?

Falls Ihnen das Problem zu schwer erscheint, versuchen Sie es in einer vereinfachten Variante mit nur drei Türen zu lösen!

Bei drei Türen brauchen wir zwei Tage, bei vier Türen sind es fünf.

Zunächst die Lösung für das vereinfachte Problem mit drei Türen. Am ersten Tag öffnen wir die mittlere Tür. Falls wir das Tier dabei nicht finden, war die Katze entweder hinter Tür 1 (links) oder hinter Tür 3 (rechts).

Weil die Katze täglich eine Tür weiter springt, falls sie nicht entdeckt wurde, muss sie sich am zweiten Tag hinter Tür 2 in der Mitte befinden. Wir öffnen diese und haben das Tier mit Sicherheit gefunden.

Bei vier Türen ist die Suche etwas aufwendiger. Wir brauchen maximal fünf Tage. Die Türsequenz lautet

2 – 2 – 3 – 3 – 2

oder in der gespiegelten Variante

3 – 3 – 2 – 2 – 3

Ich erkläre die Strategie in der ersten Variante 2 – 2 – 3 – 3 – 2.

Mit 2 – 2 stellen wir sicher, dass sich die Katze am Ende des zweiten Tags – nach Öffnen und Schließen der Tür und dem Springen der Katze zur benachbarten Tür – nicht an Position 1 befindet. Möglich sind nur die Positionen 2, 3, 4.

Mit den nächsten beiden Schritten 3 – 3 finden wir die Katze mit Sicherheit, falls sie sich am Ende des zweiten Tages hinter einer der Türen 3 oder 4 versteckt hatte.

Bleibt noch die Tür 2 als Versteck am Ende des zweiten Tags. Die Katze könnte dann am dritten Tag von Tür 2 zu Tür 1 oder 3 wechseln. Weil wir am vierten Tag zum zweiten Mal Tür 3 öffnen (Sequenz 2 – 2 – 3 – 3), entwischt sie uns nur, wenn sie am Ende des dritten Tags zu Tür 1 gewechselt ist.

Befindet sich die Katze am Ende des dritten Tags hinter Tür 1, muss sie am Ende des vierten Tags zu Tür 2 wechseln. Wenn wir dann am fünften Tag Tür 2 öffnen, spüren wir die Katze mit Sicherheit auf.