Rätsel der Woche: Hat diese Gleichung eine Lösung?

2^a = a³²

steckt die Unbekannte a in zwei verschiedenen Potenzen drin. Mal als Basis und mal als Exponent.

Trotzdem ist es möglich, eine Lösung mit Stift und Papier zu finden.

Schaffen Sie das?

Eine Lösung der Gleichung lautet a = 256 (= 2⁸).

Wir bringen zunächst die Unbekannte a auf eine Seite, indem wir beide Seiten der Gleichung

a³² = 2^a

mit 1/(a*32) potenzieren:

a^32/(a*32) = 2^a/(a*32)

Das Ergebnis lautet:

a^1/a = 2^1/32

Der Trick besteht nun darin, die Potenz auf der rechten Seite (2^1/32) so umzuformen, dass sie dieselbe Struktur hat wie der Ausdruck links (a^1/a). Rechts sollte also eine Potenz stehen mit einer Zahl als Basis und dem Reziprok dieser Zahl als Exponent.

Wir erweitern dazu den Bruch 1/32 mit x und nutzen die Potenzgesetze:

2^1/32 = 2^x/(32*x) = (2^x)^1/(32*x)

Wir suchen also eine Zahl x, für die gilt:

2^x = 32*x

Mit geschultem Auge (oder geschickten Probieren) finden wir die Lösung x = 8. Daraus folgt:

2^1/32 = 256^1/256

und weiter

a^1/a = 256^1/256

und somit a = 256 als Lösung, wobei wir auch a = 2⁸ schreiben können.

Das setzen wir zur Probe in die Ausgangsgleichung

a³² = 2^a

ein und sehen, dass die Lösung tatsächlich stimmt, denn

256³² = 2²⁵⁶ weil 256 = 2⁸ ist und 8*32 = 256 ergibt.

Wenn Sie das Rätsel der Woche regelmäßig verfolgen, erinnern Sie sich eventuell an das ganz ähnliche Problem aus dem September 2025. Dabei ging es um eine Lösung der Gleichung 6^x = x¹⁸.

Ich hatte damals probiert, die Lösung mit KIs im sogenannten Reasoning oder Thinking Modus zu finden, die neben Sprachmodellen auch mathematische Kenntnisse nutzen und sich bei Bedarf selbst Codes schreiben, um Probleme zu lösen. Bei 6^x = x¹⁸ klappte das leider nicht gut – zumindest bei meinen Versuchen mit GPT 4o und Claude Sonnet 4 im Reasoning/Thinking Mode. Beide Modelle fanden ausgerechnet die Lösung nicht, die sich mit Stift und Papier relativ leicht ermitteln lässt.

Beim Problem 2^a=a³² lieferte Chat-GPT 5.4 Thinking ohne Probleme alle drei reellen Lösungen:

a ≈ −0,97901693496
a ≈ 1,02239294021
a = 256

und bot sogar einen Beweis dafür an, dass es keine weiteren Lösungen mehr gibt. Claude Sonnet 4.6 Reasoning fand nur die beiden positiven Lösungen, also auch a = 256.

Dass die KI-Modelle diesmal besser abschnitten als vor einem Dreivierteljahr, mag an Verbesserungen der Modelle liegen. Es kann aber auch damit zu tun haben, dass die Gleichung 2^a = a³² häufiger im Internet samt Lösung(en) auftaucht als 6^x = x¹⁸ – und die KIs diese Lösungen daher schon kennen.

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen: